Приватне вирішення загального завдання електростатики

Приватне вирішення загального завдання електростатики

Зі школи ми пам'ятаємо рішення завдання про розподіл електричного заряду по нескінченній провідній площині в присутності точкового електричного заряду над площиною. Тільки деякі згадають як аналітично вирішується завдання про розподіл електричного заряду по провідній сфері, якщо точковий заряд покоїться десь у просторі. Але, я впевнений, ніхто не зможе вирішити аналогічну задачу про розподіл заряду по пляшці Клейна. Якщо до такої системи додати зовнішнє електростатичне поле та інші провідники, про аналітичне рішення нерозумно буде навіть мріяти.

Сформулюємо загальне завдання електростатики наступним чином:

Дано:

- форма і розташування в просторі провідників

- заряд провідників

- зовнішнє електричне поле (поле за відсутності провідників, не залежне від положення провідників)

Необхідно знайти розподіл заряду по поверхні провідників і скалярний потенціал електричного поля в усьому просторі.

Потенціал як функція трьох декартових координат повинен задовольняти рівнянню Пуассона в усьому просторі:

З теореми єдності випливає, що, якщо ми знайдемо функцію, що задовольняє цьому рівнянню і граничним умовам, тобто рішення, це рішення буде єдиним.

Щоб уникнути зайвої складності, розглянемо рішення завдання про розподіл електричного заряду по проводиться поверхні в присутності зовнішнього поля, що не залежить від положення і заряду проводить поверхні.

Будемо шукати вирішення завдання чисельним методом кінцевих елементів.

Відразу попереджу, що я не буду розглядати теоретично питання схожості мого методу, а обмежуся лише деякими фактами з практики, що свідчать на користь гіпотези про схожість цього методу, хоча, можливо, і не до справжнього рішення.

Задамо поверхню параметрично:

Виберемо кількість u і v - розбиття і покриємо поверхню мережею u і v - ліній. У вузлах отриманої сітки помістимо електричні заряди, величину яких нам належить знайти.

Також виберемо Nu * Nv точок безпосередньо біля вузлів. Рішення будемо шукати виходячи з умови, що потенціал електричного поля в цих точках однаковий. Сам потенціал будемо розраховувати як суперпозицію потенціалів, створюваних точковими зарядами.

Складемо матриці:

- начерк матриці лінійної системи, яку будемо вирішувати. Нижні індекси говорять про положення зарядів, верхні - точок розгляду потенціалу. Ці відстані знаходяться з параметризації поверхні.

- матриця-стовпець невідомих - величин зарядів.

- матриця-стовпець потенціалів зовнішнього поля в точках розгляду потенціалу.

Тоді отримаємо систему Ф + MQ = A, де А - якась постійна матриця-стовпець, складена з невідомих нам потенціалів поверхні.

Щоб виключити цей потенціал з системи, спочатку перенесемо матрицю Ф в праву частину рівності, а потім віднімемо від Nu * Nv-1 перших рівнянь системи останнє рівняння, яке замінимо умовою нормування (сума всіх зарядів на поверхні дорівнює повному заряду).

Тоді отримаємо фінальну лінійну систему з матрицею системи:

І стовпчиком вільних членів:

Щоб покінчити з цими картинками з надмірно великим шрифтом, наведу останній вираз, що визначає результат всієї роботи - шматково-постійну функцію поверхні заряду на поверхні (мається на увазі, що при u і v, що належать майданчику наближення з однойменними індексами, функція приймає значення лівої частини виразу):

Будемо вирішувати систему і працювати з результатом в системі Mathematica.

Приватне вирішення загального завдання електростатики.nb

Подивимося тепер на роботу методу. Почнемо з квадратної пластини, параметризованої тривіальним способом. Тоді параметри u і v - декартів координати точок пластини і елемент площі, що стоїть під інтегралом вище дорівнює одиниці.

Ми отримали логічне і очікуване рішення.

Рішенням для сфери повинна бути площина, але ми отримуємо щось зовсім недобре:

Я все поясню. Справа в тому, що вибір точок приміщення зарядів і розгляду потенціалів залежить від параметризації. І на такій симетричній системі, як сфера, отримуємо несиметричний результат через те, що поверхнева щільність заряду є поверхневою в «декартовому сенсі». Якби ми вводили поверхневу щільність у сферичній системі координат, все було б інакше.

Але не все так погано. При збільшенні кількості вузлів ця фігурка стискається (на автоматично побудованим математикою графіку цього, правда, не видно) і, припускаю, прагне таки зайняти місце площини.

Поверхні, для яких ведеться пошук рішення, повинні бути замкнутими, інакше може виникнути сингулярність на краях: при збільшенні точності щільність заряду на краях прагне до нескінченності.

Також я вирішив вирішити завдання про розподіл заряду за напівогружністю («буси») двома способами для перевірки роботи методу.

Метод 1. Розташуємо на бусах однакові заряди. Заряди безінерційні. «Відпустимо» їх. Маленькими кроками вони займуть стійке положення. Такий наочний метод зейделівського типу щодо кутової координати зарядів:

Метод 2. Вищеописаній системі відповідає півциліндр у тривимірному просторі, для якого завдання вирішимо нашим методом:

Зовні рішення дуже навіть схожі. Q.E.D.

Цікаво почути вашу думку з приводу вищевикладеного методу вирішення загального завдання електростатики.